有限数学示例

$\log_{2} (r) + \log_{2} (r - 2) = 3$

解题步骤 1

化简左边。

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解题步骤 1.1

使用对数积的性质，即 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 。

$\log_{2} (r (r - 2)) = 3$

解题步骤 1.2

运用分配律。

$\log_{2} (r \cdot r + r \cdot - 2) = 3$

解题步骤 1.3

化简表达式。

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解题步骤 1.3.1

将 $r$ 乘以 $r$ 。

$\log_{2} (r^{2} + r \cdot - 2) = 3$

解题步骤 1.3.2

将 $- 2$ 移到 $r$ 的左侧。

$\log_{2} (r^{2} - 2 r) = 3$

解题步骤 2

使用对数的定义将 $\log_{2} (r^{2} - 2 r) = 3$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$2^{3} = r^{2} - 2 r$

解题步骤 3

求解 $r$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $r^{2} - 2 r = 2^{3}$ 。

$r^{2} - 2 r = 2^{3}$

解题步骤 3.2

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$r^{2} - 2 r = 8$

解题步骤 3.3

从等式两边同时减去 $8$ 。

$r^{2} - 2 r - 8 = 0$

解题步骤 3.4

使用 AC 法来对 $r^{2} - 2 r - 8$ 进行因式分解。

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解题步骤 3.4.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 8$ ，和为 $- 2$ 。

$- 4, 2$

解题步骤 3.4.2

使用这些整数书写分数形式。

$(r - 4) (r + 2) = 0$

解题步骤 3.5

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$r - 4 = 0$

$r + 2 = 0$

解题步骤 3.6

将 $r - 4$ 设为等于 $0$ 并求解 $r$ 。

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解题步骤 3.6.1

将 $r - 4$ 设为等于 $0$ 。

$r - 4 = 0$

解题步骤 3.6.2

在等式两边都加上 $4$ 。

$r = 4$

解题步骤 3.7

将 $r + 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $r$ 。

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解题步骤 3.7.1

将 $r + 2$ 设为等于 $0$ 。

$r + 2 = 0$

解题步骤 3.7.2

从等式两边同时减去 $2$ 。

$r = - 2$

解题步骤 3.8

最终解为使 $(r - 4) (r + 2) = 0$ 成立的所有值。

$r = 4, - 2$

解题步骤 4

排除不能使 $\log_{2} (r) + \log_{2} (r - 2) = 3$ 成立的解。

$r = 4$

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